Oneindig in wiskunde en sterrenkunde - deel 1

Voor de wiskunde en voor de sterrenkunde is er sinds mensenheugenis een mysterie geweest in verband met het begrip ‘oneindigheid’. 

Wat betekent het begrip 'oneindig' in de wiskunde? Of in de sterrenkunde? Bestaat er een relatie met het begrip oneindig dat in de filosofie gebruikt wordt? Deze kwestie is een van de fundamentele problemen waarmee wiskundigen en sterrenkundigen geconfronteerd worden.

Hieronder wordt een zeer bondig overzicht gegeven hoe dit begrip in de loop der eeuwen evolueerde. In dit overzicht worden enkele van de  meest bepalende figuren voorgesteld. 

Copyright afbeelding: Imagine AI Art Generator

1. In het Oude Griekenland

De Oude Grieken hadden er reeds een groot probleem mee. Ze hebben daarover tal van paradoxen voorgesteld die vandaag nog vaak worden geciteerd.

Zo is er de gekende paradox van Zeno (495-435): Achilles kan de schildpad niet inhalen, zelfs niet als hij steeds maar doorloopt. Is in die zin beweging nog mogelijk? Maar Zeno wist in zijn tijd nog niet dat de som van een oneindige reeks een eindig resultaat kan hebben. Over limieten was toen nog geen sprake.

Aristoteles (384-322) van zijn kant ontkende het bestaan van de oneindigheid. Oneindig was voor hem een ‘potentialiteit’, maar geen realiteit, iets dat dus nooit kon bereikt worden. Zo is voor hem de reeks gehele getallen potentieel oneindig want in realiteit kan men er bij het laatste, hoe groot ook, steeds eentje toevoegen.

Toen Pythagoras (570-495) de schuine zijde berekende van een rechthoekige driehoek waarvan de twee rechthoekszijden gelijk waren aan 1 bekwam hij een nieuw soort getallen, de irrationale getallen. Naar het schijnt waren hij en zijn leerlingen zo onthutst dat ze besloten deze ontdekking geheim te houden. Er wordt zelfs gezegd dat toen Hippasas, één van zijn leerlingen, het geheim toch aan iemand verklapte, hij gewoon op zee over boord werd gegooid.

2. God is oneindig

Met de opkomst van de grote westerse religies wordt het begrip oneindig gerelateerd aan het begrip transcendentie, een begrip dat op zijn beurt gekoppeld wordt aan God. 

Augustinus (354-430) bouwt een godsbegrip op dat afgeleid is uit de leer van Aristoteles. Volgens Aristoteles was het onmogelijk alle getallen te kennen. Maar God moet ze wel kennen want hij is oneindig. Voor God is de potentialiteit van oneindig een realiteit.

In dezelfde zin spreekt Thomas van Aquino (1225-1274) over God.

Nicolaas van Cusa (1401-1464), een Duits theoloog, wiskundige en astronoom, grijpt terug naar de methode die Archimedes (287-212) gebruikt om pi te bepalen uit een ingeschreven regelmatige veelhoek in een cirkel. De eindige polygoon waaraan men steeds maar meer zijden toevoegt leidt naar een cirkel die God voorstelt, een cirkel zonder begin noch einde. En dan legt hij een link naar met het universum: als God oneindig is, waarom is dan het universum niet oneindig?

3. Natuurfilosofen en wiskundigen

Met Galileo Galilei (1564-1642) belandt men in een nieuwe tijdsgeest. Volgens hem zijn de wetten van de natuur en de sterrenkunde geschreven in de taal van de wiskunde. Maar Galilei stootte in zijn tijd op een nieuwe paradox, met name de eenduidige relatie die er bestaat tussen de lijst van natuurlijke getallen en de reeks van kwadraten ervan. Beide zijn oneindig. Zijn er dan minder getallen in de tweede reeks?

In dezelfde geest beweerde ook René Descartes (1596-1650) dat een oneindig oppervlak evenveel punten heeft als een oneindige lijn. 

Enkele tijd later toonde Leonhard Euler (1707-1783) aan dat het mysterieus getal pi, waarover reeds in de bijbel sprake was, kon benaderd worden door een convergerende oneindige reeks. 

Steeds bleef het begrip oneindig dus opduiken. De relatie tussen de wiskunde en de sterrenkunde bleef wel een groot probleem. Blaise Pascal (1623-1662) vatte het als volgt mooi samen : "Le silence éternel des espaces infinis m'effraie."

Lange tijd trachtte men in de wiskunde het probleem van oneindig uit de weg gaan. Het was Georg Cantor (1845-1918) die als eerste consequent dit probleem durfde aan te pakken. Hij wordt daarom soms ook de ‘temmer van het oneindige’ genoemd. Zijn werk en zijn publicaties werden hem wel niet in dank afgenomen door zijn collega's. Hij werd voortdurend tegengewerkt. Uiteindelijk werd Cantor hierdoor zelfs krankzinnig. 

David Hilbert (1862-1943) nam de fakkel over van Cantor. Hij kwam met een metafoor voor de dag die vroeger ook Galilei had bezig gehouden. Hij sprak over een‘hotel Oneindig', met oneindig veel kamers die genummerd werden met de reeks van natuurlijke getallen beginnend bij 1. Het hotel kan nooit volzet zijn want er is steeds plaats voor een nieuwe gast. Maar .. er is nog een ander hotel waar men de kamers heeft genummerd met de opeenvolgende pare getallen 2, 4 , 6, enzovoort. Men  zou op het eerste gezicht kunnen denken dat er nu minder kamers zijn. Maar toch kan er ook hier steeds nog een nieuwe gast bij. Door deze vergelijkingen kreeg het begrip oneindig in de wiskunde een uitgesproken dynamisch karakter.    

Kurt Gödel (1906-1978) maakte het probleem nog ingewikkelder. Hij wist te bewijzen dat er limieten zijn aan het rationeel denken van de mens. Hij toonde aan dat men in elk rationeel opgebouwd systeem vroeg of laat kan botsen op een bewering waarvan men rationeel niet kan zeggen of ze juist of fout is. Het rationeel denken heeft dus een limiet. 

Deze stelling uit 1931 heeft een grote impact gehad, niet alleen op de wiskunde maar ook op de filosofie. 

De Oostenrijker Gödel was in zijn tijd een belangrijk logicus, een van de grootste die men in de wiskunde heeft gekend. Zijn doorgedreven logica heeft hem ten andere bijna zijn Amerikaanse nationaliteit gekost. Net als Einstein was Gödel uit Oostenrijk uitgeweken naar de Verenigde Staten. Toen hij in de jaren 1930 voor een commissie moest verschijnen om de Amerikaanse nationaliteit te bekomen wees hij erop dat de Amerikaanse grondwet een ‘logische lacune’ bevatte die aanleiding kon zijn om een dictatoriaal regime in te stellen. De heisa die dit veroorzaakte kostte hem bijna zijn Amerikaanse nationaliteit. En net zoals Cantor is ook Gödel krankzinnig geworden.

Alle wiskundige benaderingen van het begrip oneindig konden niet anders dan een impact hebben op de sterrenkunde. Hoe kon men het begrip oneindig vertalen naar de sterrenkunde?  De filosoof Emmanuel Levinas (1906-1995)  vatte het in één zin mooi samen: "L'infini déborde la pensée qui le pense."

4. Oneindigheid en het universum

Albert Einstein (1879-1955) lost voor het eerst het probleem van de oneindigheid op in de sterrenkunde. 

Einstein werd in zijn jonge jaren geconfronteerd met twee problemen die hem niet loslieten: de snelheid van het licht en de ogenblikkelijke voortplanting van de zwaartekracht. In zijn speciale relativiteitstheorie gaat Einstein ervan uit dat de lichtsnelheid een absolute constante is. De lichtsnelheid is niet oneindig en geen enkel lichaam kan vlugger bewegen dan het licht, waarbij de lichtsnelheid c = 300.000 km/s. Dit is voor hem een postulaat.

In zijn algemene relativiteitstheorie pakt Einstein het probleem van de zwaartekracht aan. Volgens Einstein is het onmogelijk dat de zwaartekracht zich vlugger zou voortplanten dan het licht. Uit een gedachtenexperiment - wellicht meteen ook zijn belangrijkste gedachtenexperiment - komt Einstein tot het besluit dat zwaartekracht en versnelling in de natuur equivalente begrippen zijn. Dit leidt hem tot een revolutionaire andere visie van de ruimte: voor hem is de ruimte niet langer een vaste, starre ruimte zoals Newton die zag in de klassieke natuurkunde, voor Einstein is de ruimte een dynamisch, veranderlijk iets waarvan de vorm bepaald wordt door de aanwezige massa. Om zijn visie concreet uit te werken zal Einstein wel een beroep moeten doen op een andere soort meetkunde.

Tekst: Emile Beyens, juni 2025