Wiskunde en sterrenkunde - deel 5 Wiskunde gisteren, vandaag en morgen
8. De moderne tijden
Bij het begin van de vorige eeuw vond een ware omwenteling plaats in de wereld van de fysica, een omwenteling die ons vertrouwd wereldbeeld compleet overhoop zou gooien. De wereld van de fysica zou gedurende dertig jaar het toneel worden van hevige wetenschappelijke confrontaties, waarin de toen befaamde Solvay Conferenties in het Métropole Hotel te Brussel een belangrijke rol hebben gespeeld. Vóór 1900 spreekt men nu nog over de 'klassieke fysica' en na 1900 over de 'moderne fysica'..
Ook de wereld van de sterrenkunde werd rond 1900 geconfronteerd met belangrijke problemen. Hoe de onverklaarbare baan van Mercurius verklaren? Wat is de natuur van licht? Zijn zwarte gaten realiteit of fictie? Bestaat er een ether? Het waren allemaal problemen waarvoor er geen antwoord was en die wezen op de limieten van de klassieke theorieën. Deze theorieën bleken zeker nog bruikbaar te zijn, maar vertoonden wel lacunes wanneer men ze op de zeer grote schaal van het universum wou toepassen of op de zeer kleine schaal van de atomaire wereld.
De relativiteitstheorie, die fenomenen bestudeert die zich op zeer grote schaal voordoen, en de kwantummechanica, die tot in de diepste kern van de materie doordringt, werden de twee nieuwe trekpleisters van de moderne natuurkunde en astronomie.
In die zoektocht naar oplossingen voor de vele problemen hebben tal van geleerden, waaronder Einstein, Bohr, Schrödinger, Heisenberg, Pauli en Dirac, hun volle gewicht in de schaal gelegd. Om hun doel te bereiken schrokken zij er ook niet voor terug een beroep te doen op totaal nieuwe visies in de wiskunde. Meer en meer bleek wiskunde een onmisbaar instrument te zijn om vragen over het oneindig grote en over het oneindig kleine te kunnen benaderen. Rechtstreeks waarnemen was alsmaar moeilijker geworden.
8.1. Einstein en de relativiteitstheorie
Je kan het moeilijk over moderne fysica hebben zonder Albert Einstein (1879-1955) erbij te betrekken. Hij werd niet voor niets door Time magazine verkozen tot de grootste wetenschapper van de 20ste eeuw.
Copyright: Publiek domein via Wikipedia
Het jaar 1905 wordt als het vruchtbaarste jaar in Einsteins wetenschappelijke loopbaan beschouwd, zijn 'annus mirabilis'. Hij publiceerde dat jaar in het tijdschrift Annalen der Physik vier artikels, met name over de Brownse beweging, over het foto-elektrisch effect, over de vermaarde relatie tussen massa en energie en tenslotte over de speciale relativiteitstheorie. Elk van die artikels zou in aanmerking kunnen komen voor een Nobelprijs.
Het is opmerkelijk dat Einstein voor de zo belangrijke relativiteitstheorie nooit de Nobelprijs gekregen heeft. Het is nochtans die theorie die hem zo beroemd heeft gemaakt. Sinds Einstein zijn onze begrippen over tijd en ruimte voorgoed veranderd.
Einstein is steeds een 'sui generis' geleerde geweest en gebleven. Om zijn nieuwe theorieën te vinden hoefde hij niet geconfronteerd te worden met waarnemingen of zelf waarnemingen te verrichten. Hij was een man van gedachte-experimenten. Een van zijn quotes is ten andere "Imagination is more important than knowledge".
Het is van dergelijk gedachte-experiment dat Einstein in 1905 vertrekt om zijn speciale relativiteitstheorie uit te werken. Einstein vroeg zich toen gewoon af wat er zou gebeuren mocht hij even vlug kunnen reizen als het licht. Het leidde hem naar het inzicht dat het licht de enige absolute constante is in de natuur, en dat daardoor de ons zo vertrouwde begrippen als tijd, afstand of gelijktijdigheid een relatief karakter krijgen. Deze begrippen hangen af van de manier waarop men ze meet, ten opzichte van wat men ze meet.
Ook in 1915 vertrekt Einstein voor zijn algemene relativiteitstheorie van een gedachte-experiment: wat zou er gebeuren met iemand die in een lift staat waarvan de hangkabel wordt doorgeknipt? In zijn wereld - dus binnenin de lift - zou die persoon hetzelfde gevoel van gewichtloosheid ervaren als in een lift die zeer ver verwijderd is van alle sterren - dus ver verwijderd van elke materie - en waar met andere woorden geen zwaartekracht heerst. Op basis van dit gedachte-experiment komt Einstein tot de conclusie dat er geen verschil is tussen de begrippen 'versnelling' en 'zwaartekracht'. Daar waar Newton dacht dat de zwaartekracht een kracht is, wordt de zwaartekracht voor Einstein gewoon de baan die door een massa gevolgd wordt in een vervormde ruimte. En die vervorming van de ruimte wordt op haar beurt veroorzaakt wordt door massa.
Met zijn nieuwe theorie kon Einstein onder andere de onregelmatigheden verklaren in de baan van Mercurius. De waargenomen periheliumprecessie van +/- 43 boogseconden per eeuw was gewoon te verklaren door de vervorming van de ruimte rond de Zon.
De definitieve erkenning van de algemene relativiteitstheorie zal er pas komen ter gelegenheid van een zonsverduistering in 1919. Eddington, één van de meest gezaghebbende astronomen van zijn tijd, heeft bij die gelegenheid kunnen vaststellen dat het licht van sterren die zich achter de Zon bevonden door de massa van de Zon ongeveer 1,72 boogseconden werden afgebogen.
Copyright: ESO Public Images
Om zijn algemene relativiteitstheorie uit te werken was Einstein wel verplicht gebruik te maken van een andere meetkunde dan de klassieke meetkunde van Euclides. Het is gebruik makend van renoverende wiskundige visies van enkele belangrijke wiskundigen uit de 19de eeuw, zoals Lobatchevski, Bolyai, Riemann en Gauss, dat Einstein zijn algemene relativiteitstheorie een wiskundig fundament heeft kunnen geven. Wiskundigen beschouwden voor het eerst na 20 eeuwen de Euclidische meetkunde niet langer als 'de' meetkunde maar gewoon als 'een' meetkunde. Vertrekkend van andere axioma's hadden zij, bijvoorbeeld, een bolmeetkunde ontwikkeld waarin rechte lijnen vervangen werden door grootcirkels op een bol en waarin het onmogelijk was om door een punt buiten een rechte lijn een evenwijdige te tekenen aan deze rechte lijn.
8.2. De kwantummechanica
Astronomen bestuderen niet alleen natuurkundige processen op grote schaal. Zij willen ook begrijpen wat er gebeurt in de atomen. Atomen zijn immers de grondstof waaruit sterren en sterrenstelsels zijn opgebouwd. Welke chemische processen ondergaan deze atomen in sterren? Wat doet er zich voor binnen de atomen? Wil men een grondige kennis opdoen van wat zich in de kernen van atomen voordoet, kan men niet voorbijgaan aan de kwantumtheorie. Om de oorsprong van de kwantumtheorie te achterhalen moeten we teruggaan tot het jaar 1900.
De kwantumtheorie heeft steeds veel gemoederen beroerd en ook vandaag nog blijft ze controversieel. Toch is ze niet meer weg te denken uit de astronomie. De oerknaltheorie, sterevolutie, zwarte gaten, de evolutie van het heelal en tal van andere problemen in de kosmologie kunnen gewoon niet zonder.
Zoals vaak ontstaan nieuwe theorieën wanneer men met onopgeloste problemen geconfronteerd wordt. Dit was niet anders met de kwantumtheorie. Volgens de klassieke fysica zou men op Aarde moeten blootgesteld zijn aan een dodelijke dosis uv-straling, afkomstig van de Zon. Waarom doet die uv-catastrofe zich niet voor?
Het was Max Planck (1858-1947), een Duits fysicus uit Berlijn, die in 1900 als eerste met een onwaarschijnlijke veronderstelling voor de dag kwam. Om uit de patsituatie te geraken gebruikte hij een wiskundige formulering waarin verondersteld werd dat licht bestaat uit kleine pakjes die hij 'kwanta' noemde. Het was een gedurfde veronderstelling waarvan Planck zelf de volle draagwijdte niet inzag, maar die wel een bevredigende oplossing bood voor het hierboven geschetste uv-probleem. Het is deze veronderstelling van Planck die zou leiden tot de moderne kwantumtheorie die wij vandaag kennen.
Een belangrijke voorstander van deze nieuwe theorie was Niels Bohr (1885-1962). Zijn inbreng in de verdere ontwikkeling ervan is doorslaggevend geweest. Volgens Bohr is het onmogelijk om op een ondubbelzinnige manier de natuur waar te nemen. In het diepste wezen van de natuur schuilt een onnauwkeurigheid. Men kan men enkel met een zekere waarschijnlijkheid berekenen waar kleine deeltjes zich bevinden.
De klassieke fysica was steeds uitgegaan van de veronderstelling dat het heelal onderworpen was aan een strikt determinisme: elke beweging in de natuur moest het gevolg zijn van een oorzaak. Er was in de natuur geen plaats voor onnauwkeurigheid. Nu stelde de kwantumtheorie een einde aan dit idee.
Copyright afbeelding: Publiek Domein via Wikipedia - afbeelding links en afbeelding rechts
Met zijn nieuwe visie ontwikkelde Bohr ook een nieuw atoommodel, waarin 'waarschijnlijkheid' de basis is. In het atoommodel van Bohr bekleden elektronen met een zekere waarschijnlijkheid verschillende energieniveaus. Elektronen kunnen verspringen van het ene niveau naar het andere, maar zullen steeds gehoorzamen aan de kwanta van Planck.
De wiskundige beschrijving van de kwantumtheorie vond haar bekroning in het werk van Erwin Schrödinger (1887-1961) en Werner Heisenberg (1901-1976). Beiden hebben, vertrekkend van totaal verschillende invalshoeken, een veralgemeende kwantumtheorie uitgewerkt.
9. En wat nu?
In de 17de en 18de eeuw dachten velen dat sinds Newton de fysica een eindpunt had bereikt. In de 20ste eeuw ontstonden door nieuwe problemen de relativiteitstheorie en de kwantumtheorie. Deze twee theorieën hebben de astronomie heel wat verder gebracht. De algemene relativiteitstheorie bleek een perfect instrument te zijn om fenomenen te verklaren die zich op zeer grote schaal aan de sterrenhemel voordoen, terwijl de kwantumtheorie in staat is geweest om de wereld van het subatomaire te beschrijven.
Helaas blijken ook deze theorieën hun limieten te hebben. De relativiteitstheorie en de kwantumtheorie blijken niet compatibel te zijn met elkaar. Zij geven ons geen verklaring van wat zich heeft voorgedaan bij het prille begin van het heelal, toen het huidige heelal microscopisch klein was. Zo weet men vandaag niets over wat zich voorgedaan heeft toen het heelal 10-43 seconde oud was.
De zoektocht naar een compatibiliteit van de twee theorieën blijft de grote uitdaging voor de toekomst. Zal de snaartheorie hier een oplossing brengen? De snaartheorie die een universum beschrijft waarin meer dan tien dimensies zouden zijn?
Mocht de oplossing uit die hoek komen, zal ze zeker een stevige brok wiskunde bevatten...
Tekst: Emile Beyens, september 2020